F値はなぜ「明るさ」なのか？

なるふぉです。カメラ等の光学系で、F値が「明るさ」を示すと言いますが、なぜなのでしょうか？ここではその理由について考えます。

F値（F-number)とは？

F値（F#)とは、入射瞳直径(D)と焦点距離(f)の比のことです。

$$F\#= f/D$$

参考：「原著5版ヘクト光学 I 基礎と幾何光学」

下の図のような簡単な系で考えます。

入射瞳径(が大きいほど、取り込める光量が多くなり、明るくなるのは直感的に「そうだなぁ」と思います。

円形の開口であれば、光量Iは面積である入射瞳直径(D)の２乗２比例します。

$$I\propto D^2 \tag{1}$$

一方で、焦点距離を変えたときは、口径は同じです。

一見集める光量は同じに見えるため、明るさは同じに見えます。

ここで、単位面積あたりの光量を考えます。

微小な角度Δθ入射角度が変わったとき、像の位置は

$$f\tan(\Delta\theta)\simeq f\Delta\theta$$

となります。したがって、角度ゼロからΔθまでの角度で入射する光は、$\pi(f\Delta\theta)^2$の範囲に分布することになります。したがって、集光位置での単位面積あたりの光量は$f^2$に反比例することになります。

$$I\propto 1/f^2 \tag{2}$$

式(1)(2)より、単位面積当たりの光量は

$$ I\propto D^2/f^2=(1/F\#)^2$$

となります。したがって、F値は明るさを表す指標となります。

例えば、F値が2倍になれば明るさは1/4, ３倍になれば1/9,…となります。

したがって、明るさが8, 4, 2 ,1倍となるように、カメラのf値の表示は、1.4, 2, 2.8, 4… となっています。